高中数学题快解快析——有关复数的方程

是年四月,期中考试,痛失数学,于是痛定思痛,而细细分析试题……

题目

设X₁,X₂是实系数一元二次方程aX²+bX+c=0的两个根,若X₁是虚数,X₁²/X₂是实数,且

A=1+(x₁/x₂)+(x₁/x₂)²+(x₁/x₂)⁴
+(x₁/x₂)⁸+(x₁/x₂)¹⁶+(x₁/x₂)³²

试求A的值。

book 知识点:高中必修二-复数
filter_6 难度:6/10
my_location 高一下期中

知识储备

  • 人教版《普通高中教科书:数学(A版):必修二》中:阅读材料《1的n次方根》

其中就指出,1的3次方根除1外,还存在两个成对的虚数根(几何上关于x轴对称),分别为:

x₁=(-1/2)+√3/2i, x₂=(-1/2)-√3/2i

根据其几何意义,不难证明:

x₁²=x₁的共轭=x₂

由棣莫佛定理

x₁+(x₁的共轭)=-1

就可以得到

x₁+x₁²+1=0①

如果将其推广,即得实数系数方程虚根成对定理

一个实数系数方程如果有虚根,那么共轭虚根a±bi一定成对出现。

解题

由“知识储备”,易得X₁和X₂互为共轭虚数,即

x₂=x₁的共轭

则条件“X₁²/X₂为实数”即可转化为:

x₁²/(x₁的共轭)=x₁³/|x₁|²∈R②

将上式设为k,则k∈R。注意到|x₁|²必为实数,那么要求x₁³为实数即可。于是

(x₁/√k)³=1

因为X₁与X₂等效,根据上式,在计算X1/X2时√k会被约去。那么不妨设

x³=1③

我们就可以得到:

x₁=(-1/2)+√3/2i, x₂=(-1/2)-√3/2i

把X₁的值代入X₁/X₂,可以得到

x₁/x₂=(-1/2)-√3/2i=x₂

结合①,同时利用③进行降次,即可算出

A=-2

完事。

文首图摄制于2021年5日11日雨夜,铜陵

赞赏
版权所有,转载请注明出处并链接到本页。
本作品采用CC BY-NC-SA 4.0协议进行许可。

MX

文章作者

百品工作室室长

发表评论

textsms
account_circle
email

高中数学题快解快析——有关复数的方程
是年四月,期中考试,痛失数学,于是痛定思痛,而细细分析试题…… 题目 设X₁,X₂是实系数一元二次方程aX²+bX+c=0的两个根,若X₁是虚数,X₁²/X₂是实数,且 A=1+(x₁/x₂)+(x₁/x₂)²+(…
扫描二维码继续阅读
2021-05-12