高中数学题快解快析——有关复数的方程

是年四月，期中考试，痛失数学，于是痛定思痛，而细细分析试题……

题目

设X₁，X₂是实系数一元二次方程aX²+bX+c=0的两个根，若X₁是虚数，X₁²/X₂是实数，且

A=1+(x₁/x₂)+(x₁/x₂)²+(x₁/x₂)⁴

+(x₁/x₂)⁸+(x₁/x₂)¹⁶+(x₁/x₂)³²

试求A的值。

知识储备

• 人教版《普通高中教科书：数学(A版)：必修二》中：阅读材料《1的n次方根》

其中就指出，1的3次方根除1外，还存在两个成对的虚数根（几何上关于x轴对称），分别为：

x₁=(-1/2)+√3/2i, x₂=(-1/2)-√3/2i

根据其几何意义，不难证明:

x₁²=x₁的共轭=x₂

由棣莫佛定理

x₁+（x₁的共轭）=-1

就可以得到

x₁+x₁²+1=0①

如果将其推广，即得实数系数方程虚根成对定理：

一个实数系数方程如果有虚根，那么共轭虚根a±bi一定成对出现。

解题

由“知识储备”，易得X₁和X₂互为共轭虚数，即

x₂=x₁的共轭

则条件“X₁²/X₂为实数”即可转化为：

x₁²/(x₁的共轭)=x₁³/|x₁|²∈R②

将上式设为k，则k∈R。注意到|x₁|²必为实数，那么要求x₁³为实数即可。于是

（x₁/√k）³=1

因为X₁与X₂等效，根据上式，在计算X1/X2时√k会被约去。那么不妨设

x³=1③

我们就可以得到:

x₁=(-1/2)+√3/2i, x₂=(-1/2)-√3/2i

把X₁的值代入X₁/X₂，可以得到

x₁/x₂=(-1/2)-√3/2i=x₂

结合①，同时利用③进行降次，即可算出

A=-2

完事。

文首图摄制于2021年5日11日雨夜，铜陵